Alguna vez te has preguntado, ¿cuál es la utilidad de las derivadas en la vida diaria? Con ellas, se determina la pendiente de las funciones y se maximiza la eficiencia, por ejemplo, al encontrar el área máxima que se puede utilizar para hacer un cilindro con la mínima cantidad de material.
Existen diferentes fórmulas para encontrar la derivada y, en este tema, examinarás ejercicios donde los límites marcan la primera derivada de una función por su definición.
Propiedades de los límites
La primera aproximación a la derivada se da mediante el concepto de límite, ya que es una función muy cercana a un punto. El concepto de derivada se interpreta desde la geometría como “la pendiente de una curva” y desde la física como una razón instantánea de cambio (Pérez, s.f.).
Como función, tienen valores de 
y se aproximan al límite cuando 
se acerca a un valor 
. Existen 3 tipos de límites: los que tienden a 
, los que tienden a cero y los que tienden a infinito. Observa la tabla 1.
Tabla 1. Tipos de límites.
Límites de funciones polinomiales y con variables independientes
Ejemplo 1. En la función 
, 
tiene un valor de 3, que se ve representado en la gráfica 1. Al escribirla como función, el límite se expresa como:
Gráfica 1. Límite.
Al sustituir 
en la función del límite, arroja un resultado indeterminado o infinito; entonces, lo recomendable es factorizar y eliminar, de tal forma que el denominador no equivalga a cero.
1. Sustitución de x.
2. Se factoriza.
3. Se eliminan los factores iguales, en este caso 
, siendo el factor eliminado el hueco de la función.
Donde:
.
.
.
.4. Sustituye el valor de 
en la función.
Por tanto, el resultado es el siguiente:
Recta tangente de funciones algebraicas
La pendiente de una función es la tangente del ángulo de inclinación con respecto al eje de las 
, también considerada la primera derivada de una función.
Los conceptos de límite y pendiente se pueden unir, ya que la pendiente se toma como un límite. Observa las siguientes fórmulas y analiza su estructura; luego, encontrarás ejercicios que describen las igualdades entre límite y pendiente.
A continuación, se presenta la fórmula de la pendiente de una función:
La fórmula se describe como el cociente de dos puntos: la diferencia de 
dividida entre la de 
.
En el siguiente ejemplo, se deben graficar los puntos A y B que comparten una línea recta.
Gráfica 2. Recta de dos puntos.
1. Se emplea la fórmula de la pendiente.
2. Se obtiene el resultado de la primera derivada, a partir de los siguientes valores:
3. Se sustituyen los valores de los puntos A y B en la fórmula.
4. El resultado de la pendiente es el siguiente:
Obtener la pendiente de una función sirve para determinar el ángulo de inclinación, comúnmente llamado 
que tiene la recta.
Con ayuda de la función trigonométrica inversa de la tangente, se obtiene 
de la recta trazada. Observa la gráfica 3, en ella encontrarás señalado el ángulo de inclinación de la recta.
63.43°
Como te habrás percatado, los límites son muy interesantes por sus múltiples usos. La primera derivada de una función se obtuvo por medio del concepto de pendiente y se expuso su utilidad desde una perspectiva geométrica.
Las siguientes relaciones te ayudarán a enlazar algunos conocimientos matemáticos y físicos; debes tener en cuenta que dichas igualdades permiten correlacionar ambas disciplinas.
Donde 
está conformado por: velocidad promedio o velocidad media.
Derivada por definición de límite
La derivada por definición se trata de una función contenida en un intervalo, con un límite correspondiente a la variable independiente cuando tiende a cero (Ramos, 2018). Desde esta perspectiva, se encuentra al límite como derivada.
Si tienes los puntos y necesitas obtener la función, emplea la fórmula de la definición de derivada por límite:
Examina el siguiente ejemplo.
Ejemplo 2. Un automóvil se mueve a razón de 
Calcula la velocidad media entre 
y 
, así como la velocidad en el instante 
y considera 
en 
.
En este caso, se pide determinar la velocidad media entre 
y 
, así que sustituye el valor de 
en la ecuación del desplazamiento. Se obtienen estos resultados:
Tabla 2. Automóvil en movimiento.
Con estos valores se obtiene la 
.
1. Como la
es igual a 
, entonces:
La velocidad promedio es de 
.
2. Para obtener la función necesaria, se recurre a la fórmula de la definición de la derivada, ya que no se cuenta con una ecuación de velocidad. Esta se puede elaborar de la siguiente manera:
3. Definir 
.
4. Coloca 
respectivamente y soluciona las operaciones algebraicas necesarias. Esto se hace con el propósito de eliminar 
del denominador, ya que tiende a cero y eso perjudica el límite.
5. Al obtener el resultado, se sustituye el valor 
para conocer la velocidad en ese instante.
En 
Así, podemos concluir que en 
se llega a una velocidad de 
.
La relación entre las fórmulas de las integrales y sus aplicaciones se encuentra estrechamente vinculada con las derivadas.
El cálculo diferencial ha evolucionado y ahora tiene diversas aplicaciones, sobre todo porque se le otorga mayor relevancia a la primera y segunda derivada de la función. El concepto de límite para definir a la derivada aún resulta válido, pero ya no del todo práctico, pues existen métodos sintetizados para conseguir los mismos resultados. A pesar de esto, se puede decir que se trata de un procedimiento correcto que, en situaciones como las antes descritas, permite resolver los problemas.
Asegúrate de:
