Plantilla

Factorial de un número

El factorial de un número representa su multiplicación consecutiva desde sí hasta n; por ejemplo, el factorial de 5 es .
Este procedimiento se denota con el símbolo , así que el factorial de 4 es

En este sentido, el factorial de 0 y 1 siempre será 1.

Permutaciones, ordenaciones y variaciones

Técnicas de conteo

Las técnicas de conteo son un conjunto de herramientas matemáticas utilizadas para determinar el número de formas posibles en las que puede suceder un evento. Estas técnicas son fundamentales en la teoría de la probabilidad, se aplican en una amplia variedad de problemas y se retoman en distintos campos de estudio, como en estadística, informática, física y biología. A continuación, se presentan y explican algunas de estas herramientas matemáticas.

Principio fundamental del conteo. Según este principio, si un evento puede suceder de m maneras distintas y otro de n maneras distintas, entonces ambos pueden acontecer juntos de mn maneras distintas.

Un ejemplo común de este principio es el siguiente: si deseas comprar una camisa y un pantalón en una tienda de ropa que ofrece cinco opciones de la primera prenda y cuatro de la segunda, el principio fundamental del conteo establece que se puede elegir una camisa y un pantalón de . Esto significa que hay 20 combinaciones posibles para adquirir en la tienda.

Permutaciones. De acuerdo con Reyes (2022), hacer grupos u ordenar elementos, sobre todo del espacio muestra, resulta crucial para tener más claros los planteamientos de los ejercicios o problemas. Una de las maneras de hacer esto se da mediante la resolución de permutaciones; por ejemplo, si te preguntan ¿de cuántas maneras se pueden conseguir los tres primeros lugares en la Copa Mundial de la FIFA Qatar 2022? Para encontrar la respuesta, primero debes saber cuántos países compiten; en este fueron 32 selecciones de futbol. Entre ellas, se repartirán las tres posiciones más anheladas: primero, segundo y tercer lugar.

Tabla 1. Primeros tres lugares.

Cualquiera de las 32 naciones participantes puede ocupar el primer lugar; por tanto, para el segundo solo restan 31 y para el tercero 30. El cálculo se realiza de esta manera:

Ahora, examina la siguiente pregunta: ¿de cuántas maneras puedes organizar cinco libros románticos en un librero de cinco espacios?

Si tienes cinco libros para cinco espacios, en el primero puedes depositar cualquiera de los libros; en el segundo, uno de los cuatro restantes y así sucesivamente hasta agotarlos.

Esta es la primera fórmula:

Donde:
_.

En el ejemplo del mundial, la fórmula quedaría así:

Si observas, es el total de selecciones que compiten y los lugares a conseguir; con esta información, se establece y resuelve la fórmula.

En el caso de los cinco libros, la fórmula se expresa de esta manera:

Combinaciones. No siempre es importante el orden al momento de clasificar u ordenar datos; por ejemplo, imagina que en tu salón de clase hay 20 alumnos y en la materia de Probabilidad se forman equipos de cuatro personas, es decir, habrá cinco equipos. ¿De cuántas maneras se pueden integrar?

Observa con detenimiento la fórmula, resulta crucial que la entiendas porque te dará la pauta para identificar cuándo se permuta o se combina. Las combinaciones son agrupamientos en los que no importa el orden; por ejemplo, al conformar los equipos da lo mismo si primero eligen a Pedrito y luego a Juanita en el primer equipo. En estos casos, solo interesa que ambos se integren en dicho grupo y que no podrán estar en otro.

En este caso:

Axiomas de probabilidad

De acuerdo con TechEdu (s.f.), la probabilidad se refiere a la posibilidad relativa de que ocurra un evento; por ejemplo, ¿cuál es la probabilidad de obtener águila al momento de lanzar una moneda al aire? Como habrás deducido, en esta situación se presentan dos posibilidades: que caiga águila o sol. No obstante, solo una de ellas te hace ganador, es decir, uno de los dos resultados o el 50%. Por este motivo, la probabilidad se define mediante la regla o fórmula de Laplace:

Si analizas con detenimiento el ejercicio de la moneda, entonces:

S = {águila, sol}. Este evento corresponde al espacio muestra o casos posibles del experimento.
A = {águila}.

Observa el siguiente ejemplo y presta atención a las explicaciones.

Imagen 1. Urna de pelotas.

a) ¿Cuál es la probabilidad de sacar una pelota azul de la urna?

Para resolver esta pregunta, primero se establecen bien los datos, así que formula tu espacio muestra.

, es decir, tienes 14 pelotas diferentes: cinco moradas, cinco azules y cuatro rojas.
cinco de las pelotas son favorables.

Por tanto, la probabilidad se calcula de esta manera:

b) ¿Cuál es la probabilidad de sacar una pelota morada o roja?

, es decir, tienes 14 pelotas diferentes: cinco moradas, cinco azules y cuatro rojas.
.

Por tanto, la probabilidad se determina de esta forma:

Otra manera de resolverlo es como si se tratara de la suma de ambas probabilidades, es decir:

.
.

Por tanto, la probabilidad se calcula así:

c) ¿Cuál es la probabilidad de extraer una pelota que no sea azul o roja?

En este caso, observa que el espacio muestra son todos los resultados posibles:

, lo cual equivale al 100% de los resultados, es decir, a todo lo que puede suceder.

Entonces, definimos:

   _.

   .

P(A) =

P(B) =

P(C) =

La suma de todas las probabilidades equivale a 1 o al 100%.

Para saber la probabilidad de extraer una pelota que no sea azul o roja, puedes hacer una resta:

Diagramas de árbol

Un diagrama de árbol es una herramienta gráfica para visualizar las distintas posibilidades y eventos que pueden ocurrir en una situación de probabilidad. Los eventos se representan como ramas de un árbol y las probabilidades asociadas con ellos se plasman en las secciones correspondientes; el diagrama se lee de izquierda a derecha y de arriba a abajo.

Imagina que quieres calcular la probabilidad de obtener sol dos veces seguidas al lanzar una moneda, así que necesitas plasmar los posibles escenarios. A continuación, se presenta un ejemplo sobre cómo usar un diagrama de árbol para representar esta situación.

Figura 1. Diagrama de árbol.

En el diagrama, cada nivel representa un lanzamiento de la moneda, mientras que las ramas que se derivan de ellos suponen los posibles resultados. Las probabilidades asociadas con cada rama son iguales, pues se parte del principio de que la moneda es justa.

En el primer lanzamiento (nivel 1), la moneda puede caer en águila o sol. Si salió águila, en el segundo lanzamiento (nivel 2) también pueden obtenerse ambos resultados; entonces, se conformarían las parejas “águila-águila” y “águila-sol”. Por el contrario, si el primer lanzamiento (nivel 1) resulta sol, en el segundo puede salir águila o sol, así que se tendrían estas combinaciones: “sol-águila” y ”sol-sol”.

Por estas razones, el espacio muestra se define en estos términos:

S = {“Águila-Águila”, “Águila-Sol”, “Sol-Águila”, ”Sol-Sol”}

De estos cuatro resultados, solo uno cumple con la condición de obtener sol en dos lanzamientos consecutivos; por tanto, la probabilidad de que esto ocurra es de 1/4 o del 25%.

A lo largo de este tema, entendiste los conceptos asociados con lo factorial, así como los tipos de agrupación a los que puedes recurrir cuando necesitas o no un orden en tu información. En este sentido, las permutaciones o variaciones se emplean cuando se requiere una organización de los datos, mientras que las combinaciones se usan en los otros casos. Además, comprendiste la regla de Laplace para el cálculo de probabilidad, la cual consiste en la división de los casos favorables sobre los casos posibles; de esta operación, se obtiene un valor entre 0 y 1 o entre el 0% y el 100% de posibilidad de que ocurra algún evento. Estas son las bases fundamentales para el estudio de la probabilidad.