Contexto

Harry Markowitz: La historia de la teoría del portafolio y el mercado bursátil mexicano

Una de las aportaciones más importantes en la historia de las finanzas es la teoría del portafolio. Con base en ella se han hecho y perdido fortunas, su aplicación en el mundo de los negocios es una constante y la utilizan tanto personas físicas como morales (Gitman, y Joehnk, 2009). Markowitz (1999) señala que el desarrollo de la teoría de portafolio es una práctica bien establecida desde hace mucho tiempo (antes de que publicara su artículo en 1952) y menciona que los reportes anuales de A Wiesenberger presentados desde 1941 en el reporte Inversiones de las Compañías, mostraban que esas organizaciones contaban con inversiones en una gran cantidad de empresas.

Asimismo señala los sustentos de su teoría, el rendimiento esperado, el cual lo definió como la utilidad promedio de los beneficios presentados por una acción en un determinado periodo y el riesgo del portafolio, el cual lo describió como la desviación estándar siendo usada a medida relativa de riesgo; ambos se presentan como una hipótesis posible con respecto al comportamiento de los rendimientos de una activo financiero y una referencia de cómo deben actuar los inversionistas en la selección de acciones.

Markowitz (1952) asume que los beneficios o proyecciones con respecto al comportamiento de las acciones, siguen las misma reglas de probabilidad que presentan las variables aleatorias; asume dos supuestos fundamentales:

Que el rendimiento promedio esperado de portafolio es el resultado del promedio ponderado de los beneficios esperados de las acciones individuales de acuerdo a un porcentaje de inversión.
La varianza del rendimiento del portafolio es una función particular entre las varianzas y covarianzas entre las acciones y su peso (el porcentaje de inversión) en el portafolio.

Moreno y Gutiérrez (s.f.) señalan que la teoría de portafolios estudia cómo construir carteras de inversión que maximicen la utilidad esperada del inversionista. Al efecto, el modelo más importante históricamente es el modelo de Markowitz; se debe considerar que un portafolio de inversión es un conjunto de activos que pueden ser acciones, bonos, obligaciones papel comercial, entre otros invertidos en determinadas proporciones.

Ross y Westefield y Jaffe (2012) explican que los rendimientos esperados de las acciones comunes pueden variar de manera muy evidente, uno de los factores es la industria en la que opera la empresa que las suscribió. La tabla 1 muestra las utilidades promedio de los últimos 5 años de empresas que se encuentran en diversos sectores de la Bolsa Mexicana de Valores, por ejemplo Alsea, un operador de restaurantes que es líder en el mercado mexicano y en España cuyo rendimiento promedio anual fue del 44.59%; Grupo México es una empresa que se desarrolla en el sector de la minería y presentó un rendimiento del 5.87%; Soriana, una de las tiendas de autoservicio más grandes del país y en continuo crecimiento, presentó una utilidad del 6.96%; y Gruma, líder en la producción de harina de maíz y un importante jugador en el segmento del pan de caja, presentó utilidades promedio de 52.92%.

Mientras que el Índice de Precios y Cotizaciones (IPyC) de la Bolsa Mexicana de Valores (BMV) ganó en promedio los últimos 5 años el 7.34%, éste último dato si lo comparamos con el promedio de la inflación presentado por el INEGI en septiembre de 2015 a septiembre 2014, fue de 4.22%. Se puede establecer que se tiene un rendimiento del 73% sobre la inflación en el caso de promedio del mercado accionario mexicano. Si se compara con Gruma, la cual presenta el mayor rendimiento, el beneficio de invertir en esta acción con respecto a la pérdida de valor, en relación a la inflación, es del 1,154%.

De acuerdo a esta información se da la posibilidad de afirmar que la inversión en el mercado accionario mexicano es una excelente opción para colocar el dinero, sin dejar de considerar que este rendimiento se ve relacionado con su factor de riesgo que también es muy grande, y ahí la necesidad de diversificarla por medio de una cartera de inversiones donde se maximice el rendimiento y disminuyendo el riesgo.

Tabla 1. Rendimiento promedio del Índice de Precios y Cotizaciones
diversas acciones (octubre 2010-2015)

Elaboración propia con datos de Yahoo (2015)

De acuerdo a los datos anteriores, ¿por qué difieren tanto los rendimientos en los diversos sectores? Además, ¿cómo se calculan estas cifras específicas? Por lo que se observa, ¿se debe preferir siempre invertir en la industria de los alimentos más que en las empresas mineras o en las de autoservicios?
De acuerdo a lo que se presente en este tema, las respuestas a estas preguntas forman el sustento del principio fundamental en las finanzas: a mayor riesgo, mayor rendimiento.

Explicación

9.1 Modelo de portafolio de Markowitz

La mayoría de los instrumentos financieros presentan utilidades inciertas, por lo que son activos financieros riesgosos. El principal problema que enfrenta un inversionista es la toma de decisiones para la creación de un portafolio, el cual se entiende como un conjunto de instrumentos, cuyo objetivo es obtener un buen rendimiento minimizando el riesgo. Esta técnica de selección de instrumentos se conoce como la Teoría Moderna de Portafolios (López, s.f.).

Este problema de la selección de portafolios se centra en obtener un portafolio óptimo entre un universo de alternativas posibles. Esta cartera deberá solucionar las necesidades de los inversionistas en cuanto a utilidad, riesgo y tiempo, por lo que el administrador del portafolio deberá maximizar el rendimiento considerando el riesgo relacionado. Una solución a este problema la propuso Harry M.Markowitz en 1952, cuando publicó un artículo que es considerado como el origen de la Teoría Moderna de Portafolios (Moreno y Gutiérrez, s.f.).

Considerando que una persona tiene una suma de dinero para invertir el día de hoy y por un determinado período de tiempo, conocido como el período de tenencia del inversionista, sin dejar de reconocer que los rendimientos futuros de los valores (y por tanto de los portafolios) en el siguiente período son desconocidos, el inversionista puede estimar el rendimiento esperado (media) y escoger el portafolio con el rendimiento más alto (Gitman y Joehnk, 2009).

Pero así como el inversionista quiere un rendimiento esperado alto, también quiere que ese rendimiento se acerque lo más posible al rendimiento observado después del tiempo, por lo que esto le generará incertidumbre (riesgo). De acuerdo al perfil del inversionista, con su elección tratará de mantener el riesgo en el menor nivel posible, sin embargo, hay otros propensos al riesgo que buscarán maximizar su función de utilidad sin importar el riesgo. Este conflicto de objetivos (tener un rendimiento alto y un riesgo bajo) se deberá equilibrar al momento de realizar la inversión. La combinación de un rendimiento adecuado con un nivel de riesgo apropiado se logra a través de la diversificación la cual se obtiene al comprar no uno sino varios valores, ya sea del mismo tipo o de diferentes clases (Ehrhardt y Brigham, 2007).

Ross, Westerfield y Jaffe (2012), presentan los elementos centrales de la teoría de portafolio de Markowitz:

Haz clic para conocer los elementos centrales

El ideal en la conformación de un portafolio de inversión es la combinación de un rendimiento conveniente con un nivel de riesgo adecuado, lo cual se logra como ya se ha señalado a través de la diversificación, misma que se obtiene al comprar no uno sino varios valores, ya sea del mismo tipo o de diferentes clases, distribuyendo entre todos ellos el riesgo.

9. 2 Cálculo de riesgo y rendimiento de un portafolio

Ross, Westerfield y Jaffe (2012) señalan que el elemento central del Modelo de Portafolios de Markowitz está en función de los valores obtenidos cuando se aplican las medias estadísticas de tendencia central y dispersión.

En los mercados financieros se ha encontrado que los rendimientos de los activos financieros se comportan frecuentemente de acuerdo a una distribución normal, la cual se representa por una curva simétrica en forma de campana (figura 1).

Figura 1. Curva de distribución normal.

Fuente: García, J. (s.f.)

Los principales parámetros de la campana de distribución normal son los siguientes:

Haz clic para ver la información de cada concepto

La correlación puede tomar cualquier valor entre -1.0 hasta +1.0. Un coeficiente de -1.0 o de +1.0 indica que los dos activos se encuentran perfectamente correlacionados (la variable X y la variable Y) y que en la medida en que uno de ellos reaccione el segundo también lo hará. Un coeficiente de correlación de cero o cercano a cero indica que la relación es poco intensa o débil o simplemente no existe.

Rendimiento de una acción

El dato principal para determinar el rendimiento estimado y el riesgo de un portafolio es el rendimiento de la acción, para lo cual se deben hacer las siguientes consideraciones:

Las acciones que cotizan en la Bolsa Mexicana de Valores van cambiando su valor en forma diaria.
Cuando el valor de éstas aumenta se dice que tienen una plusvalía (parecida a la de los inmuebles), y cuando el valor de éstas disminuye se dice que tienen una minusvalía.
Cuando una acción con plusvalía se vende se obtiene una ganancia, y cuando se vende con minusvalía se obtiene una pérdida.

La fórmula para el cálculo del rendimiento obtenido por una acción es la siguiente:

Donde se toma el valor actual de la acción y se divide entre el valor anterior de la acción, a ese resultado se le resta la unidad (1).

Rendimiento del Portafolios de dos Activos

El rendimiento esperado de un portafolio de dos activos con riesgo será el promedio ponderado de los rendimientos esperados de los activos que componen dicho portafolio. Donde _w2 es la proporción del activo a y wb es la proporción del activo b, siendo también ésta, 1- wa.

Rendimiento esperado de una cartera E(Rp) = W₂ R₂ = ∑ W₁ R₁

W= Peso, proporción invertida en cada acción
n= Número de acciones en circulación
R2)= Rentabilidad esperada de cada activo

Portafolios de dos Activos con Riesgo

El riesgo de un portafolio se calcula multiplicando las posibles combinaciones que se pueden dar en el caso de que se invirtiera en dos acciones Alfa y Beta se calcularía la posible combinación de dos activos (cuatro combinaciones Alfa por Alfa; Beta por Beta; Alfa por Beta y Beta por Alfa) de la siguiente manera:

El peso o porcentaje de la inversión al cuadrado por el riesgo al cuadrado de la acción Alfa.
El peso o porcentaje de la inversión al cuadrado por el riesgo al cuadrado de la acción Beta.
El peso o porcentaje de la inversión en Alfa por el peso o porcentaje de la inversión en Beta por el riesgo de la acción Alfa por el riesgo de la acción Beta.
El peso o porcentaje de la inversión en Beta por el peso o porcentaje de la inversión en Alfa por el riesgo de la acción Beta por el riesgo de la acción Alfa.
Se suman todas las posibles combinaciones y se obtiene la varianza del portafolio.

Por lo tanto, a manera de fórmula, la varianza del portafolio se calcula de la siguiente manera:

σ p2 = wa2σ a2 + wb2σ b2 + 2wawb corr(a, b)2
σ p = σ p

Para determinar el riesgo del portafolio se saca la raíz cuadrada de la varianza.
En el caso de que se estimara el riesgo de un conjunto de tres acciones, entonces las posibles combinaciones serían 3x3= 9; en el caso de que fueran cuatro, entonces las posibles combinaciones serían 4x4=16 y así subsecuentemente.

9.3 Frontera eficiente

Como ya se ha visto, la teoría de portafolio utiliza varias medidas estadísticas básicas para desarrollarlo, entre los que se encuentra el rendimiento esperado, las desviaciones estándar de los rendimientos, así como la correlación entre los mismos; por lo que la diversificación se logra mediante la combinación de títulos individuales con correlaciones tanto positivas como negativas entre sus tasas de rendimiento (Ross, Westerfield y Jaffe, 2012).

En el mercado accionario mexicano hay más de 135 acciones disponibles, por lo que un inversionista se enfrenta prácticamente a cientos de combinaciones posibles; de hecho usar únicamente 10 de esos activos financieros, podría crear cientos de combinaciones cambiando únicamente la proporción de la inversión (Villareal, 2008).

Gitman y Joehnk (2009) explican que si se deseara crear una frontera eficiente con dos activos, se podría calcular el rendimiento y el riesgo de cada una de ellas, registrando cada combinación de riesgo-rendimiento sobre una serie de ejes riesgo-rendimiento, obteniendo la combinación factible de todas las carteras y de ellas obtener la cartera eficiente. (Figura 1)

Figura 1. Frontera eficiente de una inversión

Fuente:enciclopediafinaciera.com

Asimismo definen la frontera eficiente como aquella que proporciona el rendimiento más alto para un nivel específico de riesgo o que tenga el rendimiento más bajo de riesgo para un determinado rendimiento. El límite de inversión para el conjunto factible de inversión de portafolios representa todos los portafolios eficientes, es decir aquellas que proporcionan la mejor relación entre el riesgo y el rendimiento; a ese límite se le conoce como la frontera eficiente, todos los portafolios que están sobre la frontera eficiente son preferidos a todas las demás carteras de la serie factible, cualquier cartera que se encuentre a la izquierda de la frontera eficiente estará disponible para la inversión, por su parte las que se encuentren a la derecha de la frontera eficiente no son atractivas porque sus relaciones riesgo-rendimiento son inferiores a la cartera que se encuentra arriba de la frontera eficiente.

Ehrhardt y Brigham (2007) afirman que en teoría se puede usar la frontera eficiente para encontrar el nivel más alto de satisfacción del inversionista que él mismo puede lograr dado el conjunto disponible de carteras; cuando se relaciona con un activo libre de riesgo, la frontera eficiente puede ser utilizada para desarrollar el modelo de valuación de activos de capital o Capital Asset Pricing Model que será presentado en el siguiente tema.

Cierre

Un portafolio de inversión es un grupo de instrumentos elaborado con la finalidad para lograr una o más metas de rendimiento; en él se establece una relación de riesgo-rendimiento que implica poner frente a frente los rendimientos estimados y los diversos niveles de riesgo. El rendimiento del portafolio es el resultado del promedio ponderado de los rendimientos estimados y el porcentaje de inversión en el activo.

Por su parte, el riesgo del portafolio es la desviación estándar de los rendimientos de la inversión. La correlación es una medida estadística de la relación en caso de presentarse entre los rendimientos de los activos; por lo tanto la teoría de portafolio aplica la diversificación estadística para desarrollar carteras eficientes, con la finalidad de determinar la cartera óptima. Entonces, ¿qué puede esperar un inversionista cuando invierte en el mercado de valores?, ¿qué puede hacer para maximizar su rendimiento o minimizar su riesgo?

Checkpoint

Antes de concluir el tema, asegúrate de poder contestar las preguntas que se enlistan a continuación.

Haz clic en cada pregunta para conocer su respuesta.

¿Cuáles son los elementos centrales de la teoría de portafolio de Markowitz?

Los elementos centrales de la teoría de portafolio de Markowitz:

Rendimiento esperado. Es el rendimiento que un individuo espera que gane una acción, durante un determinado periodo, se debe considerar que es únicamente una expectativa, de acuerdo a su comportamiento el rendimiento real puede ser mayor o menor.
Varianza y desviación estándar. Una de las maneras de evaluar la volatilidad de los rendimientos de un valor, son las medidas de dispersión estadísticas, en este modelo se utilizan la varianza que es una medida de los cuadrados de las desviaciones del rendimiento de un valor, con respecto a su rendimiento esperado; por su parte la desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza.
Covarianza y correlación. Los rendimientos de los valores individuales están relacionados entre sí. La covarianza es una medida estadística de la interrelación entre dos valores, así mismo, esta relación se puede replantear en términos de correlación entre dos valores, la covarianza y la correlación son componentes indispensables para comprender el coeficiente Beta (β).

¿Cuáles son las medidas estadísticas relacionadas con la teoría de portafolio?

Media (µ)
Es una medida de tendencia central dentro de la curva de distribución normal que se calcula sumando todos los datos y dividiendo el resultado entre la cantidad de elementos; en un portafolio de inversiones la media es simplemente el rendimiento en promedio.

Varianza (σ)
Es una medida de dispersión que parte del supuesto de que los retornos de una inversión tienen la misma posibilidad de ocurrir.
La varianza que se usa para el cálculo de un portafolio es la poblacional.

Desviación estándar (σ²)
Nos indica la variación o dispersión alrededor de la media y se calcula mediante la raíz cuadrada de la varianza. En portafolios de inversión se usa para calcular la volatilidad de un activo; si es muy grande se interpreta que los rendimientos que ocurrirán a futuro serán de mayor riesgo; por el contrario si fuera muy estrecha la posibilidad de que ocurran dichos eventos es menos riesgosa.

Covarianza (Cov)
La covarianza es una medida estadística que mide la relación entre dos variables aleatorias, la cual representa la media aritmética de los productos de las desviaciones de cada una de las variables respecto a sus medias respectivas. Esto significa que es una medida de cómo dos variables aleatorias, como los rendimientos de los valores A y B, se mueven juntos; un valor positivo de la covarianza significa que los rendimientos de estos valores tienden a moverse en la misma dirección, un valor negativo significa que los rendimientos se mueven en sentido contrario, cuando uno sube el otro baja, en el caso de que el valor obtenido se encuentre cercano a cero, hay poca o ninguna relación entre ambos rendimientos.

Coeficiente de correlación (Corr)
La correlación permite identificar el grado en que dos variables se relacionan y el Coeficiente de Correlación es la medida de la intensidad de la relación entre dos conjuntos de variables. El coeficiente de correlación estandariza la covarianza al relacionarla con la variabilidad (desviaciones estándar) de los dos activos que se comparan.

La correlación puede tomar cualquier valor entre -1.0 hasta +1.0. Un coeficiente de -1.0 o de +1.0 indica que los dos activos se encuentran perfectamente correlacionados (la variable X y la variable Y) y que en la medida en que uno de ellos reaccione el segundo también lo hará.
Un coeficiente de correlación de cero o cercano a cero indica que la relación es poco intensa o débil o simplemente no existe.

¿Cómo se calcula la frontera eficiente?

Si se deseara crear una frontera eficiente con dos activos se podría calcular el rendimiento y el riesgo de cada una de ellas registrando cada combinación de riesgo-rendimiento sobre una serie de ejes riesgo rendimiento, obteniendo la combinación factible de todas las carteras y de ellas obtener la cartera eficiente. Asimismo definen la frontera eficiente como aquella que proporciona el rendimiento más alto para un nivel especifico de riesgo o que tenga el rendimiento más bajo de riesgo para un determinado rendimiento.

Práctica

Cálculo de riesgo y rendimiento de una cartera

A continuación se muestran los rendimientos de dos acciones de la Bolsa Mexicana de Valores:

Con base en los datos anteriores calcule los siguientes conceptos:

La tasa de rendimiento esperada de cada una de las acciones durante el periodo 2010-2015.
Calcule la desviación estándar de cada una de las acciones durante el periodo 2010- 2015.
Calcule el coeficiente de correlación de las acciones Alsea y Gméxico.
Suponga que usted mantuviera una cartera formada por la inversión del 75% de sus recursos en la acción Alsea y el otro 25% en la acción Gméxico.

¿Cuál sería el rendimiento del portafolio?
¿Cuál sería el riesgo del portafolio?
Explique con los datos obtenidos la ventaja o desventaja de invertir en una cartera.

Determine la frontera eficiente partiendo de un peso del 90% de inversión en Alsea y un 10% en Gméxico. ¿Qué combinación satisface tus expectativas de inversión?

Solución

La tasa de rendimiento esperada de cada una de las acciones durante el periodo 2010-2015.

Calcule el riesgo de cada una de las acciones durante el periodo 2010-2015.

Calcule el coeficiente de correlación de las acciones Alsea y Gméxico

Suponga que usted mantuviera una cartera formada por la inversión del 75% de sus recursos en la acción Alsea y el otro 50% en la acción Gméxico

¿Cuál sería el rendimiento del portafolio?

¿Cuál sería el riesgo del portafolio?

Determine la frontera eficiente partiendo de un peso del 90% de inversión en Alsea y un 10% en Gméxico

Explique con los datos obtenidos la ventaja o desventaja de invertir en una cartera.

Aunque se tiene un rendimiento esperado menor, el factor de riesgo de Alsea disminuye como consecuencia de que el coeficiente de correlación es muy pequeño, mostrando el efecto diversificador en el portafolio.