5.1 Ecuaciones de movimiento y diagrama de cuerpo libre
Para efectos de enfocar el análisis, de momento se ignoran las fuerzas generadas por gravedad durante subidas, lo cual es el caso de un vehículo circulando a nivel, es decir, en un trayecto con inclinación de cero grados. Esto se simplifica en el diagrama de cuerpo libre (figura 2).
Figura 2. Diagrama de Cuerpo Libre de vehículo a Nivel.
La segunda ley de Newton establece que la fuerza para mover un cuerpo de masa finita (m), es directamente proporcional a su aceleración (a). En otras palabras para ocasionar un cambio de velocidad en un objeto de masa m, es necesario aplicar una fuerza la cual es proporcional a su aceleración que no es otra cosa más que la razón de cambio velocidad en un intervalo de tiempo.
5.2 Efectos inerciales de elementos rotacionales
La ecuación indica que la segunda ley de Newton para nuestro caso se entenderá como la fuerza resultante o fuerza neta (lado izquierdo de la ecuación). Para llevar a un vehículo de un estado inicial con velocidad V0 a un estado final con velocidad V1 (aceleración), es directamente proporcional a su masa (m). Ésta última no sólo representa la masa (m) total del vehículo sino también los elementos de giro como las llantas y reductoras, puesto que estos también ofrecen resistencia, la cual deberá ser responsabilidad de la fuerza tractiva, por lo tanto se deberá agregar otra serie de términos inerciales del lado derecho de la ecuación, quedando de la siguiente forma:
Donde:
∑Iw : Momento de inercia de las cuatro ruedas
∑I1 : Momento de inercia de todos los elementos del tren motriz del primer engrane
∑I2 : Momento de inercia de todos los elementos del tren motriz del segundo engrane
∑I3 : Momento de inercia de todos los elementos del tren motriz del tercer engrane
∑I4 : Momento de inercia de todos los elementos del tren motriz del cuarto engrane
G1 : Reducción del primer tren de engranes
G2 : Reducción del segundo tren de engranes
G3 : Reducción del tercer tren de engranes
G4 : Reducción del cuarto tren de engranes
r : Radio de la llanta
El término entre paréntesis denota el efecto inercial de los elementos rotacionales, equivalente a una inercia vista en forma longitudinal para considerar el efecto en la fuerza resultante. Algunos autores (Wong, 2001) lo han interpretado de una forma más práctica mediante un factor de normalización como se muestra a continuación.
Primero se normaliza el término entre paréntesis con respecto a la masa total del vehículo sin perder generalidad:
Enseguida se factoriza el término de masa y se agrupan todos los términos, así de esta manera el término entre paréntesis se denota por un factor empírico
.
La anterior simplificación es útil sobre todo cuando es difícil contar con todos los datos de inercia de dichos elementos motrices del automóvil, situación que suele suceder muy a menudo. Wong (2001), entre otros autores, sugiere algunas fórmulas empíricas aplicables al sector de autos.
Donde:
0.04 : es la contribución de la inercia de las llantas.
Gn : es el factor de reducción de la velocidad a la cual esté girando el motor dependiendo del engrane utilizado normalmente alrededor del 1%. De forma más simple aún, se puede considerar 𝛾m en el orden del 5% de la masa del vehículo.
5.3 Ejemplos y aplicaciones
Ejemplo 1
Determine la fuerza neta que se necesita para que un automóvil Jetta Clásico de 1307 kg de peso en vacío alcance 100 km/h en 7 segundos. Asuma que el efecto inercial de los componentes rotacionales en esas condiciones es del 5% y que conducirá con dos pasajeros con 75 kg de peso cada uno.
| Peso vacío (kg) |
1307 (kg) |
| Distancia entre ejes (m) |
2.51 (m) |
| Distribución de peso |
57/43 del/tras |
| Altura (m) |
1.438 (m) |
| Llantas |
205/55R16 |
| Torque @ 1500 rpm |
250 Nm |
| Pot @ 5200 rpm |
114 hp |
| Eficiencia del motor |
85% |
| Área Frontal |
1.91 m2 |
Figura 3. Jetta Clásico 2015.
De acuerdo al diagrama de cuerpo libre de la figura 2, la ecuación de movimiento es la siguiente:
Donde:
Ftf : fuerza motriz en las ruedas delanteras
Rr : Resistencia al rodamiento total (considerando las cuatro llantas)
FA : Resistencia aerodinámica
Reacomodando la ecuación anterior para presentarla en términos de fuerza tractiva se obtiene:
Es decir la fuerza tractiva en las ruedas deberá considerar también los efectos de resistencia al rodamiento (Rr), aerodinámicos (FA); de momento sólo se expondrá cómo obtener el término del efecto inercial. Entonces la aceleración se obtiene considerando la teoría de cinemática de la partícula donde el vehículo parte del reposo (velocidad inicial de cero) y deberá alcanzar 100 km/h (velocidad final) en 7 segundos. Asumiendo que este aumento de velocidad sucede de forma gradual y constante, se puede considerar que la aceleración es también constante y se obtiene de la siguiente forma:
Nótese que la velocidad en km/h tuvo que ser transformada a m/s multiplicándolo por los factores correspondientes. Por otro lado, es común en la comunidad automotriz indicar el término de aceleración en términos de porcentaje de gravedad o (g's), lo que en nuestro caso equivaldría a dividirlo entre la gravedad 9.81 m/s2, resultando:
El siguiente paso será obtener la fuerza inercial equivalente para dicha aceleración, para esto se invoca de nuevo la ecuación del efecto inercial. Se debe de considerar que la masa total es de 1457 correspondiente al peso del auto en vacío (1307) más el peso de dos pasajeros (150). Por otro lado el efecto inercial equivalente de los elementos del tren motriz y ruedas corresponden a un 5% adicional. Entonces sustituyendo los datos el desarrollo queda como sigue:
Se necesitan 6070 N para poder acelerar un vehículo de 1457 Kg desde el reposo hasta 100 km/h en 7 segundos. Sin embargo, 6070 N es sólo el efecto inercial sin considerar el efecto de resistencia al rodamiento y aerodinámico. Es decir la fuerza tractiva en las ruedas deberá ser mayor a 6070 N considerando estos dos efectos de resistencia como se señaló desde un inicio en el diagrama de cuerpo libre y ecuación de movimiento.
Ejemplo 2
Obtener la potencia máxima necesaria que se necesita para acelerar el vehículo anterior.
La ecuación de potencia es como sigue:
Donde:
W : Energía Total
Pot : Potencia
En este caso el trabajo equivale a la fuerza (F) multiplicada por la distancia total recorrida (S):
Para el caso de una aceleración constante como nuestro supuesto, la fuerza F se mantendrá constante, entonces el primer término se ignora quedando:
Pero:
Entonces:
Sustituyendo:
El resultado anterior indica que la potencia máxima sucede en el momento en que la velocidad alcanza su valor máximo. Dado que se trata de una prueba de aceleración, esta velocidad sucede hasta el final del período siendo de 100 km/h y se necesitan de 226 hp para poder alcanzar dicha velocidad. Sin embargo se hace la misma aclaración que para la fuerza en el sentido que en realidad la potencia necesaria es todavía mayor que la calculada ya que falta considerar potencia adicional para poder vencer las fuerzas aerodinámica y de rodamiento así como la eficiencia del motor.
Los efectos de resistencia al rodamiento y aerodinámicos se discuten en sus módulos correspondientes. Si dichos efectos hubiesen considerado, los resultados serían los siguientes:
|
Efecto inercial |
Resistencia al rodamiento |
Resistencia aerodinámica |
Total tractivo |
| Fuerza (N) |
6070 |
285 |
323 |
6678 |
| Pot (hp) |
226 |
10.6 |
12 |
248.6 |
Tabla 1. Fuerza tractiva y potencia total considerando efectos de resistencia al rodamiento y aerodinámicos a 100 km/h.
Los valores representados en la última columna corresponderían al total tractivo en las ruedas, que en el argot automotriz se le conoce como "wheels-to-miles", que significa lo que las ruedas entregan para que vehículo avance distancia, sin embargo, para que las llantas tengan esos valores, recordemos que la fuente inicial de energía viene desde el tanque de combustible (para vehículo Diesel o gasolina), procesada por el motor a través del tren motriz "Tank to Wheels". Lo anterior significaría que se necesitará seleccionar un motor que entregue una potencia mayor que la calculada considerando que al pasar por el embrague y tren de engranes habrá pérdidas adicionales.
Figura 4. Trayectoria energética.
Al diagrama anterior se le conoce como "tank-to-wheels", por representar el ciclo energético desde el tanque de combustible (o batería) hasta las ruedas. Diagramas similares existen para otras fuentes de energía como vehículos eléctricos, híbridos o de celdas de hidrógeno, pero el mensaje siempre es el mismo considerando pérdidas adicionales.
