8.1 Ecuaciones de movimiento y diagrama de cuerpo libre
En el tema anterior se mostró el diagrama de cuerpo libre de un vehículo a nivel, es decir, para el caso de un automóvil circulando en línea recta. En este diagrama se ignoran los efectos de subidas y bajadas. Las fuerzas que intervienen son las tractivas en las llantas propulsoras (Ft), la resistencia al rodamiento (Rr), la resistencia aerodinámica (FA), y la fuerza inercial necesaria para acelerar el automóvil ma (Fig. 1).
Figura 1. Diagrama de cuerpo libre de vehículo a nivel.
De acuerdo a lo que establece la segunda Ley de Newton, la fuerza para mover un cuerpo de masa finita (m) es directamente proporcional a su aceleración (a), tienes que:
Donde:
Ftf : Fuerzas tractivas delanteras
Ftr : Fuerza tractiva traseras
Rrf : Fuerzas de resistencia al rodamiento delanteras
Rrr : Fuerzas de resistencia al rodamiento traseras
FA : Fuerza de resistencia aerodinámica
m : Masa total del vehículo
a : Aceleración
Dado que en el presente tema se estudia el modo de operar con desaceleración libre —que es el caso cuando el conductor deja de pisar el pedal de acelerador—, se ignora el efecto que ejerce la fuerza tractiva (Ft), quedando la ecuación en forma simplificada:
La resistencia al rodamiento de las cuatro llantas se simplificará en un solo término, como (Rr):
Tanto la resistencia al rodamiento como la aerodinámica son dependientes de la velocidad; como se expresa a continuación:
Dado que la resistencia Aerodinámica a altas velocidades es mucho mayor que la resistencia al rodamiento, es también conveniente simplificar más la primera, considerando un factor de resistencia al rodamiento multiplicado por el peso del automóvil.
Donde:
ρ : Densidad del aire
A: Área frontal
Cd: Coeficiente de arrastre
V: Velocidad del vehículo
fr: Factor de resistencia al rodamiento
m: Masa del vehículo
g: Gravedad
Volviendo a la ecuación de movimiento y considerando estas simplificaciones, se llega a:
Se puede observar que se tiene el caso de una ecuación diferencial cuya solución puede ser analítica o mediante fórmula recursiva, en este módulo se utilizará este último caso, quedando de la siguiente forma:
Donde:
V1: Velocidad inicial
V2: Velocidad final
Δt: Periodo de tiempo analizado
Dado que la velocidad que te interesa es V2, despejando obtienes:
Lo anterior significa que para un instante dado, si el conductor deja de pisar el acelerador permitiendo que el vehículo se desacelere libremente, la velocidad inicial que el vehículo lleva en ese momento (V1), se verá reducida un instante, determinado después (Δt) por las fuerzas de resistencia aerodinámica y de rodamiento, resultando en una velocidad al final del periodo de tiempo V2. Otra forma de interpretarlo es que la energía cinética que el vehículo lleva en ese momento se verá transformada en pérdida de resistencias aerodinámica y de rodamiento.
8.2 Ejemplos y aplicaciones
Para automóvil del tipo Jetta Clásico, cuyos datos técnicos aparecen en la tabla adjunta y que circula a una velocidad de 50 km/h, determina el tiempo que tardará en detenerse si el conductor suelta el acelerador desembragándolo por completo. Determina un perfil de velocidades para cada instante de tiempo. Considera el peso de 2 pasajeros de 75 kg cada uno.
| Peso vacío (kg) |
1307 (kg) |
| Área frontal |
1.91 m2 |
| Cd |
0.36 |
| fr |
0.02 |
| x |
1.225 kg/m3 |
Jetta Clásico 2015
Imagen obtenida de http://www.vw.com.mx/ Sólo para fines educativos.
Para este ejemplo se considera una velocidad inicial (V0) de partida de 50 km/h (13.88 m/s), entonces se invoca la ecuación recursiva para V, la cual será utilizada para encontrar la velocidad un segundo (V1) después.
De la misma forma se repite el cálculo para el segundo instante de tiempo:
El procedimiento se repite de forma recursiva hasta llegar a una velocidad de cero, lo cual se logra en un tiempo aproximado de 64 segundos, como puede observarse en la figura 2. Sin embargo, es recomendable que el participante desarrolle este método utilizando una hoja de cálculo. Para ilustrarlo se muestra completa segundo a segundo con las velocidades iniciales y finales en km/h, así como su desaceleración en m/s2. Al final de la tabla se anexa también una gráfica de la velocidad para mayor ilustración.
Nota: los datos podrán no ser exactos debido a redondeos numéricos.
Figura 2. Reducción de velocidad al soltar en acelerador.
Observa en la tabla que la desaceleración no es constante y esto es debido principalmente a la variación de la resistencia aerodinámica con el cuadrado de la velocidad. Para cerrar este tema es importante ver el problema desde un punto de vista energético. Por ejemplo, la velocidad inicial que lleva el vehículo de 50 km/h indica que el vehículo lleva una energía cinética de 1405 KJoules, que eventualmente es la que se disipará en energía no recuperable, como la resistencia al rodamiento y aerodinámica; esto es en el caso de que se permita que el vehículo desacelere libremente sin pisar el pedal del freno, de otra forma se deberá considerar también la pérdida por fricción en las balatas. El primer caso se demuestra a continuación:
Haciendo transformaciones pertinentes, dicha cantidad equivale a 390 Watt-hora:
Para tener idea de lo que esto significa, dicha energía que necesitará el automóvil para detenerse desde 50 km/h, transformándose en pérdida de energía por rodamiento y aerodinámica equivaldrían a tener cerca de 4 focos de 100 Watts encendidos por una hora (o un foco de 100 Watt encendido por casi 4 horas). Esta energía calculada es la energía cinética inicial que lleva el vehículo a los 50 km/h, lo cual da una idea de la energía máxima que se deberá disipar, sin embargo, un cálculo más preciso será obtener la potencia segundo a segundo y hacer una sumatoria total al final para obtener la energía total. La siguiente tabla muestra dicho procedimiento.
El área bajo la curva:
Como se puede observar en la curva del perfil de potencia, la sumatoria total de cada uno de los instantes por segundo (área total) representa la energía total disipada, siendo muy coincidente con la energía cinética inicial calculada.
