Para explicar el concepto de posición angular, comienza por repasar el concepto de posición lineal. Es muy fácil estar familiarizado con este concepto, ya que es algo que se vive todos los días y estas sumamente acostumbrados a medir y aproximar. Piensa en el siguiente ejemplo: ¿a qué distancia está el árbol del observador?

Figura 1

Ahora, ¿a qué distancia se encuentra el auto del observador?, ¿a qué distancia está el auto del árbol?

Figura 2

Puedes establecer fácilmente la cantidad de metros a la cual está un objeto respecto a otro, pero si quisieras contestar la pregunta: ¿dónde se encuentra el árbol respecto del observador?, necesitas ubicar el árbol en una posición respecto al observador, y para esto la distancia no basta. Es necesario incluir también una dirección.

Ahora puedes hablar de que el árbol se encuentra tres metros a la izquierda del observador, y el auto se encuentra a cinco metros a la izquierda del árbol.

Resulta muy sencillo entender el concepto de distancia y posición lineal. Ahora trata de llevar este concepto a un sistema en dos dimensiones. Es decir, donde tu ubicación no puede ser determinada únicamente hablando de derecha (positivo) e izquierda (negativo), sino también arriba (positivo) y abajo (negativo). ¿A qué distancia está el globo del observador?

Figura 3

Es evidente que —para describir la posición del globo respecto al observador— necesitas la distancia horizontal, así como la distancia vertical. La distancia total a la que se encuentra el globo del observador es la longitud de la cuerda del globo y se expresa como:

Sin importar como cambien estas cantidades, la longitud de la cuerda siempre seguirá siendo la misma. Si tratas de imaginar que el globo gira alrededor del observador siguiendo la trayectoria de un círculo, siempre limitado por la distancia de su cuerda y sólo cambiando de posición, resulta impráctico estar describiendo las coordenadas X y Y constantemente, ya que la longitud de la cuerda es constante.

Puedes decir entonces que la posición del globo se define únicamente por la posición angular que tiene con respecto a una referencia establecida. Es decir, la cantidad de grados o radianes que separan al globo de la referencia. Se ilustra con la figura 4.

La referencia es la posición horizontal del globo. La posición angular se puede definir con la separación que tiene el globo en la segunda posición con respecto a la referencia. El desplazamiento angular es la diferencia en grados entre la posición final y la inicial.

Es posible utilizar los grados para hacer una descripción gráfica de la posición angular, pero matemáticamente esto es incorrecto. Se deben utilizar radianes, ya que estos son una unidad adimensional y sólo así pueden ser válidas nuestras ecuaciones.

Para facilitar los cálculos, se toma como referencia el eje horizontal (X) como el punto de partida (cero radianes). Por convención, el movimiento en contra de las manecillas del reloj (es decir, antihorario) se denomina positivo, mientras que el movimiento en dirección de las manecillas del reloj u horario se denomina negativo.

La posición angular se define tradicionalmente por la letra griega Theta θ. El desplazamiento angular es el cambio en posición angular entre dos observaciones distintas.

Resulta evidente que al estar moviéndote en círculo puedes afirmar lo siguiente:

• Una vuelta completa al círculo equivale a un desplazamiento de 2π radianes. Media vuelta equivale a p radianes. ¼ de vuelta equivale a π/2 radianes, y así sucesivamente.
• Si el desplazamiento excede 2π radianes, se puede empezar de cero nuevamente y sumar la cantidad de radianes recorridos a 2π.
• A partir de la referencia, hablar de un desplazamiento de 11π/6 radianes (330°) equivale a un desplazamiento de –π/6 radianes (-30°).

Se sugiere al participante validar las afirmaciones previas en el siguiente diagrama.

Por tanto, sus unidades son las de unidad de distancia sobre unidad de tiempo. Cualquier persona que haya subido a un automóvil está familiarizada con la unidad de kilómetros por hora (km/h). Se puede hablar también de metros por segundo (m/s) y cualquier combinación de unidades que resulte práctica para describir la situación en cuestión.

En un sistema rotacional este concepto se mantiene igual, con la salvedad de que no se utiliza la posición y el desplazamiento lineal, sino posición y desplazamiento angular. Al hablar de un cambio de estos en el tiempo, aparece el concepto de velocidad angular y se denomina con la letra griega Omega ω. Se entiende que estarás hablando de radianes por segundo (rad/s), revoluciones por minuto (RPM) —que resulta ser otra unidad muy familiar para los entusiastas automotrices—, y cualquier otra combinación que resulte práctica.

Analiza las siguientes figuras:

La distancia del punto al centro del círculo no cambia, es decir, su radio se mantiene constante. Se observa que entre la figura 6 y la figura 7 el punto ha recorrido una distancia angular de radianes en un tiempo de 30 segundos. Así se establece que su velocidad angular es de:

Es decir, el punto recorrerá π radianes (180°) cada 60 segundos.

Entre la figura 7 y la figura 8 se observa que el punto ha recorrido una distancia angular de (θ₂ - θ₁) = (2π - 0) = 2π radianes en 120 segundos. Es decir:

El punto se mantuvo girando con una velocidad angular constante durante todo su recorrido.

Por la frecuencia del uso de ambas unidades, es conveniente establecer un factor de conversión entre rad/s y RPM. Recordando que 2π radianes equivalen a una revolución y que 60 segundos equivalen a un minuto, se tiene:

La aceleración angular es el cambio de la velocidad con respecto al tiempo. Contrario al ejemplo anterior, donde el punto se mueve a una velocidad angular constante, considera las siguientes figuras:

En la figura 10, sabes que el punto, en esa posición, se está moviendo a una velocidad de . En la figura 11, al haber transcurrido 10 segundos, sabes que el punto se está moviendo a una velocidad de y en la figura 12, al haber transcurrido otros 10 segundos, se está moviendo a una velocidad de .

Resulta obvio que la velocidad angular en el intervalo de 11 a 12 es mayor que en el intervalo de 10 a 11. Por tanto se puede decir que el punto experimenta una aceleración angular, denotada por la letra griega Alpha α. Como se dijo anteriormente, la aceleración es la razón del cambio de la velocidad con respecto al tiempo, por lo que se puede escribir de la siguiente manera:

Para nuestro ejemplo, se tiene entonces que entre 1 y 2:

Entre 2 y 3:

La aceleración entre el punto 2 y 3 es mayor que la aceleración entre el punto 1 y punto 2.

Una de las ecuaciones más conocidas de la física es la Segunda Ley de Newton, que relaciona la fuerza aplicada a un cuerpo, su masa y la aceleración que este adquiere. Sin duda te resultará familiar:

Esa ecuación funciona en sistemas lineales. Al igual como has escrito analogías para distancia, velocidad y aceleración para sistemas rotacionales, puedes escribir la siguiente ecuación:

Esta ecuación se parece mucho a la Segunda Ley de Newton, y los términos también son muy semejantes. La T (letra griega tau) representa el par rotacional. La letra I representa el momento inercial de masa y la letra α (alfa) representa la aceleración angular, un concepto que ya has estudiado.

En los sistemas lineales, es sencillo imaginarse la fuerza aplicada al objeto. En sistemas rotacionales, debes además considerar el punto de aplicación de esta fuerza en relación al centro de rotación del objeto. Observa la figura 13.

Figura 13

Imagina el siguiente escenario:

El círculo azul es una rueda que está anclada por el centro y quieres hacerla girar. Tu primer intento consiste en aplicar una fuerza (flecha azul) directamente al centro de nuestra rueda. Es fácil imaginar que la rueda no girará en lo absoluto. Tu segundo intento consiste en aplicar una fuerza a la mitad del radio de la rueda. Esta empezará a girar. Tu tercer intento consiste en aplicar una fuerza en la parte externa del radio de la rueda. Seguramente, con base en experiencia previa, podrás adivinar que es mucho más sencillo mover la rueda si aplicamos la fuerza en la parte externa del radio. Esto se debe a que el par rotacional se define de la siguiente manera:

Esto quiere decir que el par rotacional depende de la magnitud de la fuerza aplicada, y de la distancia de aplicación de la fuerza al centro de rotación del objeto. A mayor distancia, mayor par rotacional. A mayor par rotacional, mayor aceleración angular.

El último término de la ecuación I (momento de inercia) no te preocupará mucho por ahora y lo definirás como un análogo de la masa. La masa es una medida de que tan difícil es mover un objeto. El momento de inercia es difícil es hacerlo girar con respecto a cierto punto. Estos valores generalmente se encuentran en tablas.

El objetivo es conocer los conceptos básicos utilizados en los actuadores y máquinas eléctricas, que se pueden explicar con algunos de los fenómenos que experimentas en una de esas divertidas atracciones desde un punto de vista físico.

Revisa a continuación el Checkpoint: