Tema 11
Estimación de parámetros para un estudio de teoría de colas

La tienda departamental El Palacio de Hierro, se enfrentan a largas filas en la zona de cajas. Para abordar este problema, decidieron implementar un estudio de teoría de colas para optimizar sus procesos.

El primer paso fue desarrollar un modelo de colas que reflejara con precisión la situación en las cajas. Después, determinaron la tasa de servicio, estableciendo cuántos clientes eran atendidos por minuto. Con esta información, se estimaron los parámetros necesarios para mejorar la eficiencia en la tienda.

Utilizando fórmulas específicas en la teoría de colas, se logró calcular los tiempos de espera promedio y la longitud de la fila en diferentes horarios. De esta manera, El Palacio de Hierro logró implementar estrategias para reducir los tiempos de espera y brindar a sus clientes una experiencia de compra más satisfactoria.

¿Cómo se determina la tasa de servicio en un modelo de colas y cómo impacta en la estimación de parámetros para el estudio? ¿Cuáles son las principales fórmulas utilizadas en la teoría de colas para el desarrollo de modelos y cómo se aplican en la estimación de parámetros?

Modelo de colas

Figura 1. Sistema básico de servicio de cliente.

Los sistemas se pueden representar como se muestra en la figura 1, pero es importante aclarar que una representación detallada exige establecer un número elevado de parámetros y funciones. Por otro lado, existen variaciones en un sistema en el que pueden ser múltiples, como se muestra en la figura 2:

Figura 2. Sistema de servicio al cliente con colas múltiples.

Para estimar los parámetros necesarios (tasa de servicio, tasa de llegadas y tamaño de la fila) en un estudio de teoría de colas, se requiere determinar lo siguiente:

Tabla 1. Modelo de colas.

De acuerdo con Ludeña (2021), el modelo de colas está conformado por tres partes ordenadas cronológicamente:

• Fuente de entrada: se trata del total de clientes que pueden llegar a solicitar un servicio en un momento concreto. Sigue una distribución de Poisson y puede tener un tamaño finito o infinito.

• Cola: es el lugar en el que los clientes hacen la cola hasta ser atendidos. Existen diferentes tipos, como la cola prioritaria, aleatoria o LIFO. En el caso del tipo LIFO, el orden seguido depende del orden de llegada.
• Mecanismo de servicio: es el número de clientes que pueden ser atendidos al mismo tiempo. Cada uno de los puestos que permite atender a un cliente se llama servidor. En caso de que haya solo uno se le conoce como monocanal y si hay más, es multicanal.

Por lo regular, la pérdida de clientes ciertas horas del día o en ciertos días. A estos picos de demanda se les conoce como horas pico. Es en estas horas cuando se presenta el problema que se debe atender y es cuando el servicio no satisface la demanda de clientes. Por esto, es importante definir en qué días y en qué horario se presenta esa condición. De esta forma, se podrá orientar el estudio para que atienda el problema de forma específica.

Determinación de la tasa de servicio

Entender y mejorar la experiencia del usuario es esencial para el éxito de cualquier negocio. Una de las mejores formas de lograrlo es aprovechar todos los datos que genera tu empresa, además de aplicar métricas de servicio al cliente que te ayuden a detectar posibles problemas y convertirlos en oportunidades de mejora (Pérez, 2023).

Para mejorar la operación de la línea de espera, los analistas usualmente se enfocan en mejorar la tasa de estos servicios. En general, la tasa de servicios mejora con uno o ambos de los siguientes cambios:

• Incrementar la tasa de servicios por medio de un cambio de diseño creativo o una nueva tecnología.
• Agregar uno o más canales de servicio de modo que más clientes puedan ser atendidos al mismo tiempo.

Una vez que se han identificado los elementos del sistema, el horario y los días en que se presenta el fenómeno de estudio, se procede a tomar los tiempos de duración del servicio que brinda el operador o cajero a cada cliente que atiende.

Para saber cómo determinar la tasa de servicio revisa el siguiente ejemplo:

En el banco Banoro se desea conocer la tasa de servicio en mostrador. Para ello, se obtienen datos en el punto de servicio a clientes en horas pico, en los tres servidores (cajeros) que se encuentran abiertos habitualmente. Se obtiene la siguiente información:

Tabla 2. Tasa de servicio y tiempo entre servicios para clientes en tres canales.

El promedio de tiempo de servicio es el siguiente:

• Cajero 1: 1.98 minutos por cliente.
• Cajero 2: 1.89 minutos por cliente.
• Cajero 3: 2.04 minutos por cliente.

$\overline{x} = 1.974\ minutos\ por\ cliente$

$$Tasa\ de\ servicio\frac{60}{1.974} = 30.40\ clientes\ por\ hora\$$

Por lo tanto, la tasa de servicio del sistema de filas de Banoro es de 30 clientes por hora.

Desarrollo del modelo de colas

Para analizar un sistema de colas es necesario recolectar datos sobre el sistema cada cierto tiempo, esta técnica está orientada al tiempo. Sin embargo, es mejor utilizar una técnica de recolección de información asociada a eventos, esto quiere decir que la información se recoge cuando algo ocurre.

En una cola convencional los únicos datos que se van a recoger son:

1. Cada cuánto tiempo llega un cliente.
2. Cuánto se tarda en servir a cada cliente.

Elementos de un sistema: llegadas

1. Se asume independencia entre llegadas.
2. Se les considera a los intervalos entre llegadas como deterministas o aleatorios.
3. Tasa de llegada: λ = es el número medio de clientes que acceden al sistema por unidad de tiempo.
4. Tiempo medio entre llegadas:  $\frac{1}{\lambda}$

Elementos de un sistema: servicio

1. Pueden existir uno o varios servidores.
2. Se suele asumir independencia entre tiempos de servicio.
3. Duración de los servicios: deterministas o aleatorios.
4. Tasa de servicio: μ = número medio de clientes que son atendidos por unidad de tiempo.
5. Tiempo medio de servicio: $\frac{1}{\mu}$

Análisis de sistema de colas

Una vez caracterizado el sistema, surgen las siguientes preguntas:

1. ¿Cuál es la porción de tiempo en la que los servidores están desocupados?
2. ¿Cuál es el tiempo medio de espera para un cliente?, ¿es un tiempo razonable?, ¿hay pérdida de clientes por tiempos de espera muy largos?
3. ¿Ayudaría añadir más servidores para reducir el tiempo medio de espera?
4. ¿Cuál sería el número medio de clientes que debe de existir en la cola?
5. ¿Cuál es la probabilidad de que la espera sea mayor que un tiempo determinado?

Para contestar a estas preguntas se puede hacer uso de lo siguiente:

Las fórmulas en la teoría de colas

$$\ Ls = \frac{\lambda}{\mu - \lambda}$$

LS = Longitud "L" (0 Cantidad de Personas) en el Sistema "s"

$$w_{s} = \frac{1}{\mu - \lambda}$$

Ws = Cantidad de tiempo ("W de Wait) en el Sistema “s"

$$L_{q} = \frac{\lambda^{2}}{\mu(\mu - \lambda)}$$

Lq = Longitud "L" (0 Cantidad de Personas) en la cola "q"

$$w_{q} = \frac{\lambda}{\mu(\mu - \lambda)}$$

Wq = Cantidad de Tiempo ("w de wait) en la cola "q"

$$P = \frac{\lambda}{\mu}$$

ρ = Porcentaje del uso del Sistema

$$Po = 1 - \rho$$

Po = Probabilidad de que el sistema se encuentre desocupado

$$Pn = \left( 1 - \frac{\lambda}{\mu} \right)\left( \frac{\lambda}{\mu} \right)n$$

Pn = Probabilidad de que haya exactamente "n" clientes en el Sistema

Ejemplo

En un servicio de fotocopiado llegan 5 clientes cada hora y el operador de la fotocopiadora puede atender a una tasa de 6 clientes por hora.

Determina lo siguiente:

A) Cantidad de clientes en el Sistema.
B) Tiempo total que esperan los clientes en el Sistema.
C) Cantidad de personas formadas en la fila.
D) Tiempo que los clientes esperan en fila.
E) Porcentaje de uso del servidor.
F) Porcentaje de tiempo que el servidor está ocioso.
G) Probabilidad de que se encuentren 2 clientes en el Sistema.

λ = 5 clientes/hora

μ = 6 clientes/hora

Donde:

λ = Velocidad de llegada (cliente/tiempo)

μ = Velocidad de atención del Servicio (cliente/tiempo)

Nota: si la velocidad a la que los clientes llegan es mayor a la velocidad a la que puede atender el servidor, el sistema es inestable.

λ < μ o μ > λ

El problema si se puede resolver ya que la velocidad del sistema para atender es mayor a la llegada de los clientes

1. Cantidad de clientes en el sistema.

$$L_{s} = \frac{\lambda}{\mu - \lambda}$$

$$L_{s} = \frac{5}{6 - 5}$$

$$Ls = 5\ clientes$$

2. Tiempo total que esperan los clientes en el sistema.

$$W_{s} = \frac{1}{\mu - \lambda}$$

$$w_{s} = \frac{1}{6 - 5}$$

$$Ws = 1\ hora$$

3. Cantidad de personas formadas en la fila.

$$Lq = \frac{\lambda^{2}}{\mu(\mu - \lambda)}$$

$$Lq = \frac{5^{2}}{6(6 - 5)}$$

$$Lq = 4.16\ clientes$$

4. Tiempo en el cual los clientes esperan en fila.

$$w_{q} = \frac{\lambda}{\mu_{(\mu - \lambda)}}$$

$$w_{q} = \frac{5}{6(6 - 5)}$$

$$Wq = 0.83\ hora$$

5. Porcentaje de uso del servidor.

$$\rho = \frac{\lambda}{\mu}$$

$$\rho = \frac{5}{6}$$

$$\rho = 0.83 = 0.83\%$$

6. Porcentaje de tiempo en el cual el servidor está ocioso.

$$Po\ = \ 1\ –\ \rho$$

$$Po = 1 - 0.83$$

$$Po = 0.17 = 17\%$$

7. Probabilidad de que se encuentren 2 clientes en el Sistema.

$$p_{n} = \left( 1 - \frac{\lambda}{\mu} \right)\left( \frac{\lambda}{\mu} \right)n$$

Pn = 27.78%

Es importante que siempre se tenga información sobre la tasa de llegada y de servicio, así como del tamaño de fila para tomar las mejores decisiones y mantener un buen servicio.

En conclusión, el desarrollo de modelos de colas y la comprensión de la tasa de servicio son fundamentales para optimizar la eficiencia y la calidad del servicio en una variedad de contextos.

Como observaste en el escenario de la tienda El Palacio de Hierro, el estudio de colas permitió identificar los tiempos de espera y, a su vez, implementar acciones para mejorar este indicador, lo que ha generado una mayor satisfacción entre sus clientes.

Al entender cómo la tasa de llegada de clientes y la tasa de servicio interactúan, las empresas pueden adaptarse rápidamente y ofrecer una experiencia satisfactoria para sus clientes, maximizando su rendimiento operativo y su capacidad para responder eficazmente a las fluctuaciones de la demanda.

Asegúrate de:

• Comprender los conceptos básicos del modelo de colas, incluyendo la llegada de clientes, la tasa de servicio y la distribución de probabilidad de tiempo entre llegadas.
• Determinar la tasa de servicio óptima para un sistema de colas, considerando factores como la capacidad de servicio y la eficiencia del sistema.
• Utilizar fórmulas de la teoría de colas para estimar parámetros clave, como el tiempo promedio de espera en cola, el tiempo promedio de servicio y la tasa de utilización del sistema.

• González F. (2023). Aplicaciones y análisis de modelos de teoría de colas en sistemas de espera. Recuperado de https://www.linkedin.com/pulse/aplicaciones-y-an%C3%A1lisis-de-modelos-teor%C3%ADa-colas-en-espera-gonz%C3%A1lez/?originalSubdomain=es
• Pérez, M. (2023). 10 métricas de servicio al cliente fundamentales que debes medir. Recuperado de https://www.arbentia.com/blog/10-metricas-servicio-cliente-fundamentales-debes-medir/
• Ludeña, J. (2021). Teoría de colas. Recuperado de https://economipedia.com/definiciones/teoria-de-colas.html